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「数学」とは何か?

数学とは何か?と言う問いに答えるのは、数学者にとっても意外と難しい。多くの人にとって数学は、小学校(算数)の頃から取り組んでおり、かなり身近にある存在だと思う(好きか嫌いかは置いておいて)。数学とは何か?なんて、誰でも分かると思っているかもしれない。しかしそのような「数学とは何か?」と言う問いに厳密に答えることは、そんなに簡単ではない。

数学には「ゲーデルの不完全性定理」と言う定理が存在する。この定理は普通の数学の定理とは毛色が違い、数学そのものについて述べた定理である。分野で言うと、数学基礎論、あるいは数理論理学と言う分野に属する定理である。数学科の学生なら一度は聞いたことのある名前であるが、そのような学生に不完全性定理と何か?と問うてみると、ほとんどの人は「数学は不完全であることを証明したもの」であるとか、あるいはもう少し詳しく「数学には真(正しい)とも偽(間違っている)とも証明できない命題が少なくとも一つは存在する」と答える。しかしそもそもここで言う「数学」とは何を示しているのか?それをはっきりしないと「数学は・・・」と言う説明は意味を持たなくなる。

数学の理論を構築する時、必ずその出発点となるものを定めなければならない。その出発点となるものが「公理」と言われるものである。公理を基に定理を証明する。これが通常の数学である。そこで何を公理とするか?と言う違いによって、その後の展開が変わってくることは容易に想像できる。すなわち、何を公理とするかによって、様々な数学ができる訳である。通常取られる公理系は、ZFC(ツェルメロ(Z)・フランケル(F)の公理系に選択公理(C)を加えたもの)が採用される。すなわち不完全性定理は「ZFCが不完全である」と言える。

ZFCからC(選択公理)を省いた公理系を取ることもできる。そうすればまた違う数学が構成されるとも言える。このような事を考えると、どんどん数学の沼にはまっていく。しかしこの数学の沼にはまるのも数学者としては悪くない。そこをとことん突き詰めた数学基礎論と言うものは、数学を根本的に理解するためには不可欠だ。ただほとんどの大学数学科でも、数学基礎論の講義は全くないし、あるいは無視されている。僕自身も数学基礎論のカリキュラムは受けたことがない。しかしだからと言って、数学基礎論を無視することはできないはずだ。

ノーベル物理学賞にペンローズ博士ら。

今年のノーベル物理学賞に、ペンローズ博士ら三人が受賞されることが決まった。僕は今年の受賞者の名前の中にペンローズの名前があったことに少しびっくりした。なぜなら、ペンローズ博士のような大物理学者なら、今までに受賞されているとすっかりと思い込んでいたからだ。ペンローズ博士なら30年前に受賞していても全然おかしくはない話だ。

今回の受賞理由は、ブラックホール理論に対するものだ。ペンローズ博士はおそらく特異点定理などを評価されたものと思われる。そして特異点定理などのペンローズ博士の業績を語るうえで外せないのは、故ホーキング博士との共同研究だ。特異点定理もペンローズ博士とホーキング博士の共同研究によるものだ。なのでホーキング博士が存命ならば、今年の受賞者の中にホーキングの名前があったと思われる。

ペンローズ博士は非常に多才な学者だ。そして物理学者と言われているが、非常に数学寄りの数理物理学者と言え、数学者と言っても間違いではないだろう。特にペンローズ博士の代名詞と言えるのが「ツイスター理論」だ。このツイスター理論は、物理側からも数学側からも研究が進められている。

最後に一言付け加えると、世間では圧倒的にホーキング博士の方が有名だが、研究者からしてみればホーキング博士よりもペンローズ博士の方が偉大だと言う人は多いのではないだろうか?僕自身もそう思っている。今年のノーベル物理学賞には日本人も期待されていたようだが、ペンローズの名前を出されては日本人物理学者は太刀打ちできないと言えるだろう。それほどペンローズ博士の業績は圧倒的なのである。

取り組むテーマ二つ。

課題(問題)を設定する時、どのようなテーマを設定すればよいだろうか?多くの人は中心になるテーマを一つ決めて、それに集中することだろう。そしてそれは多くの場合正解である。いくつものテーマを掛け持ちしてしまえば力が分散化され、結局二兎追うものは一兎も得ずとなってしまう。しかし自分の実力に自信があれば、二兎追うのも一つの手である。さらに二兎追うことによって、双方が相互作用を起こして二つともに関して良い結果が出ることもあろう。現在二刀流に挑戦し続けている大谷翔平選手は現在苦しい立場に立たされているが、僕は大谷選手の二刀流を熱烈に応援している。そして成功することを祈っている。

学問の研究を行う時、ほとんどの人は専門を一つ定める。そしてその一つの専門に対して深く追究することだと思う。しかし一言で専門と言っても、細部を深く掘り下げるものから物事を大局的に捉えるものまで様々ある。しかし研究に関しても、必ずしもテーマを一つに絞る必要はない。そこで僕は、細部を掘り下げるテーマと大局的に構成するテーマを二つ定めることにした。と言いたいところだが、実際はもっとたくさんのテーマを定めている。現在ではそのようなテーマは十個に近づこうとしている。そしてそれらのテーマの範囲は、専門の数学と物理だけにとどまらない。理論生物学関係からコンピューター関係まで膨れ上がろうとしている。もちろん全て、理論系と言う縛りからは逃れられないのだが。

近年に始まったことではないが、科学はますます細分化してきている。実際、物理の研究者同士でも、隣接する分野の事さえ理解できないことは多いのではないだろうか。しかしそんな時代だからこそ、広く他分野に精通する研究者が必用になって来るのではないだろうか?少なくとも二つの分野、二つの視点を持つ事は非常に重要である。

20世紀前半までは、非常に理想的な時代であった。二度の大戦があったことは不幸な出来事ではあったが、学問の世界では数学においては、ガウス、リーマン、ヒルベルト、ポアンカレなど、あらゆる分野において大きな結果を出す研究者が少なからずいた。しかし現在では、そのような万能型研究者は皆無である。皆自分の専門の事だけでアップアップなのである。もちろん、研究者の質が落ちたわけでは決してない。おそらく学問の大きさと深さが膨大になりすぎたからであろう。しかしそんな時代だからこそ、あらゆる分野に広く深く挑戦する研究者が必用なのではないだろうか?それに挑戦することは非常にエキサイティングな冒険である。しかし非常に大きな危険性も伴っている。自分の命を懸けてでもそのような挑戦に取り組む研究者が一人いてもよいのではないだろうか?

コロナのワクチンに対する展望。

現在、コロナウイルスに対するワクチン開発が熾烈になって来ている。ではそのようなワクチン開発は果たして成功するのか?結論から言うと、運が良ければ早ければ来年前半くらいには実用化される。しかし運が悪ければ10年経ってもできない。ではここで言う「運」とは具体的にはどのような事か?

それには遺伝子が関係してくる。我々人間の遺伝子はDNAが主体になっているが、コロナウイルスの遺伝子はRNAの形を取っている。ではDNAとRNAは何が違うのか?簡単に言うと、DNAは二重鎖(いわゆる二重らせん)であるが、RNAは一本鎖である。それによって遺伝情報を転写する時に、DNAは修復機能があるがRNAには修復機能がない。それによって頻繁に変異が起こるのである。

現在、世界で蔓延しているコロナウイルスは一種類だけではなく、変異に変異を重ねて亜種が数十あるとも数百あるとも言われている。なのでこのような全ての種類に効くワクチンを開発することは非常に困難だ。そして今日効くワクチンが明日のコロナウイルスに効くとは限らない。HIV(エイズウイルス)に対するワクチンが数十年たった今日でも完成していないことは大まかには同じような事であり、今年効くインフルエンザワクチンが来年には効かなくなるのもこのような事である。

ノーベル生理学・医学賞を受賞された本庶佑教授はある記事(文藝春秋digital)でこのような事を述べ、ワクチンに対する過度な期待に対して警笛を鳴らしている。本庶教授自身はワクチン開発に対して悲観的だ。本庶教授の専門は免疫学である。つまりワクチンに関してはプロ中のプロ、そのような研究者が悲観的に述べているのだから、これから進む道はかなり厳しいと言える。しかし本庶教授は悲観だけを述べているのではない。ワクチンだけでなく治療薬の開発にも力を入れるべきだと述べているのである。たしかにワクチンなら特定のコロナウイルスにしか効かない可能性が高いが、治療薬なら全てのコロナウイルスに効く可能性が高い。

しかし、ワクチンと治療薬は役割が全く異なる。ワクチンはウイルスにかからないように予防するものであるが、治療薬はかかった後に投与するものである。出来る事なら治療薬よりもワクチンができた方が社会的効果は圧倒的に高い。しかし現実は、ワクチン開発につぎ込んだ数百億、数千億円がパーになる可能性も高く、治療薬を同時進行で進める必要があるようである。

医学の専門外の人(安倍首相をはじめとする政府を含む)から見れば、さっさとワクチンを作って押さえてしまえと簡単に言うが、現実はそんなに単純なものではないようである。自分の人生に対して楽観的になることは時には大きな力になるが、コロナに対してはむしろもっと慎重(悲観的?)になるべきであるようである。

物理と化学を繋ぐ。

以前の僕は専門バカと言ってよく、専門の数学と物理以外はほとんど取り組むことはなかった。しかし最近はいろいろな分野にも手を伸ばしており、その中の一つとして化学にも取り組んでいる。しかし化学の醍醐味はある意味実験にあるともいえるが、もちろん僕には実験を行う技術も施設もない。なので化学と言っても理論分野に限られる。しかし理論だけでもかなり広がりがあり、やる価値は十分にある。

理論化学の中でも特にやりがいがあると思われるのは量子化学である。量子化学とは名のように量子力学を化学の理論に持ち込んだものである。すなわち物理学(量子論)と化学を融合し繋ぎ合わせる分野だと言える。このように他分野同士を結び付けると言うことは非常に重要な視点である。福井謙一博士は化学理論にいち早く量子力学を持ち込んだパイオニアで、その功績によってノーベル化学賞を受賞されている。

最近の科学理論は極度に細分化されていると言われている。同じ物理学の研究者同士でも、隣接分野の事になると全く理解していないと言うこともよくある。もちろん研究的教養のある研究者は、他分野の専門家以上の知見がある人も中にはいる。研究者にとっては科学の研究は仕事である。そう考えると自分のテリトリーの中で結果を出し、それによって自分のポジションが確保できれば良いと考えるのも無理はない。しかしそのような研究者は所詮その程度だと言うだけである。

僕はこれまでジェネラルサイエンティストと言う言葉を何度か言ってきた。つまり全ての科学分野に対してその分野のスペシャリスト以上の知見を有する科学者の事だ。もちろん、ジェネラルサイエンティストになれるのは、科学者のうちのさらに一部だと思う。しかしそれに挑戦することは非常にエキサイティングなことである。しかしそれを達成するまでは、あらゆる意味で苦しい状況にさらされる。しかし挑戦の先の極限を目指せば自然にそこへ辿り着くのであって、本当に科学に人生をささげて挑戦するのならば、そこを目指すしかない!

数学以外では、完璧を目指さない。

世の中には完璧主義者と言われる人たちがいる。何事も完璧でないと気が済まない人たちだ。完璧と言うと素晴らしい事のように思えるが、僕はむしろ完璧を目指すことから来る弊害と言うものは非常に大きいように思える。何事もちょっと緩い方が良いと僕は感じるのである。そもそも何事も完璧であると息苦しい。そもそも全ての事に対して失敗しない人はおそらくいないと思うし、それに失敗をすることによって気づくこともたくさんある。もし成功してしまえば(極論的に言えば)それで終わりである。失敗するからこそ次があるのである。そういう意味で、僕はどれだけ失敗し、そこから立ち上がっていくかと言うことが非常に重要だと考えている。

しかし完璧でないといけない学問がある。それは数学である。数学は完全論理の世界であり、虫の穴一つ見逃してはいけない。もしかしたら虫の穴くらいは見逃しても良いのではないかと思うかもしれないが、数学においてはその虫の穴が致命傷になることが多いのである。重箱の隅を突いているようなことが、実は重大な意味を持つ事があるのである。そして当たり前の事のように思えることが、実は全然当たり前ではなく反例が出て来る。そしてそのような反例から新しい数学が生まれるのである。

数学に比べると、物理学と言うものは幾分いい加減である。そこが良いところでもあり良くない所でもある。数学の極度な完璧性に音を上げて物理に進む研究者がいる。昔の僕も、物理の適度に緩いところが良いと思っていた。しかし今は数学の完璧性のとりこになっている。物理でも数学的な完璧性を目指す数理物理をやっているのもそういう理由があるのかもしれない。そしてそのような完璧性を突き詰めて行くと、やはり最終的には数理論理学(数学基礎論とかロジックとか言う)に行きつくのではないだろうか。究極的にはやはり宇宙と言うものを論理学的に構成したいものである。

僕は日常においては全く完璧主義者ではない。と言うよりむしろ平均的な人よりも緩いと思っている。そしてこれまで様々な数学者を見てきたが、意外と日常においては緩い数学者が多いように思える。やはり数学における完璧性と、日常における緩さを使い分けることが非常に重要だと思う。なので数学以外の事は完璧を目指さない方が良いと僕は感じている。

研究費削減で、モチベーション保てない?

毎日新聞デジタルに、国立天文台の観測所の予算が大幅削減されると言うニュースが載っていた。そのことに関して、ブラックホールの撮影に成功して有名になった本間希樹教授が、「予算削減で、研究者のモチベーションが保てない」と言うコメントをしていた。はっきり言って、「ふざけるな!」っていう話だ。

研究費削減で思うように研究ができないと言う話なら十分にわかる。実験系の研究では、研究費が結果に直結する。なので研究費が非常に重要な事は分かる。しかしそれとモチベーションは全く別の話だ。研究費が削減してモチベーションが下がるなどと言うことは僕には全く理解できない。もちろん研究費が削減されることは残念だが、それならそれでその研究費内で工夫してやるだけの事だ。それに我慢ができないのなら、実績を出して海外に行けばいいだけの話だ。

もちろん、そのような理由で優秀な研究者が海外に流れるのは国としても大きな損失だと思う。しかし「研究費=結果」という世界が、理論系の僕にはいまいち理解できない。もちろん、研究費獲得も実験系研究者にとっては大きな仕事であろう。今回の研究費削減は、もしかしたら新型コロナも影響しているのかもしれない。もしそうだったら、そのような状況は海外に行っても同じだと思う。

研究費にモチベーションが左右されるような人間は、研究者としては三流だと僕は思う。もちろん、本間教授は世界的に一流研究者と見られているとは思うが、ただそのようなことでモチベーションが左右されるのなら、言い換えるとモチベーションも研究自体も経済状況と政治判断に左右されると言うことだ。これは物理の巨額な加速器を必要とする実験においても共通するところだと思う。しかしどう考えても、お金で研究に対するモチベーションが左右されるのは理解できない。そのような人は研究ではなく、ビジネスの世界に行った方が成功するのではないだろうか。

哲学が知とは思えない。

哲学は知を愛する学問だと言われている。僕も以前はそう思っていた。しかし今は全くそうは思えない。僕は哲学とは「人間の意志だ」と考えている。「いかにして生きるべきか?」と言うことを考え追究していく。それによって人間の意志と言うものが作り上げられていく。

しかし学問的哲学は全くおかしな道を迷走している。それは意志である哲学を知だと勘違いしていることにあると僕は考えている。もし「本質的な知とは何か?」と言うことを考えるのならば、それは哲学ではなく科学・数学だと僕は思っている。科学・数学は人間の圧倒的な知である。哲学などはその足元にも及ばない。そして科学・数学と哲学の決定的な違いは、それを検証できるか否かと言うことである。科学はどんなに立派に作られていても、それが実験や観測に合わなければ正しいとは認められない。数学ならば厳密な証明がなされているかどうかだ。しかしほとんどの哲学は証明も実証もされないまま継ぎ足されていく。だから間違った方向へと進んでいても、それを誰もが気付かずに無批判に進んで行くことになる。哲学は批判が大事だと言われているが、はっきり言ってその批判さえも甚だおかしく、おかしい批判の連鎖になるだけである。

学問的哲学がなぜほとんど世の中の役に立たないかと言えば、その根源は正しいかどうかを検証できないからであろう。科学ならば一歩一歩実証され、そしてそれを基に次の段階へと進んで行く。確かに実証待ちの科学理論も存在する。例えば物理学の超弦理論などがその代表だと言える。実証がされないまま突き進んで行く様は、哲学のそれとよく似ている。しかし数学的論理的に進んでいることはほぼ間違いないので、哲学と超弦理論を同じように扱うことはできない。

知とは意志によって論理を築き上げて行くことであると僕は考えている。そしてそれを次々に実証していく。しかし哲学はそれを満たさないまま突き進んでいるだけのように思える。何がおかしいかと言えば、哲学的意志を理論に結び付けるときに、そこに明らかに詭弁としか思えないような論理が介在していることである。そのような論理が果たして知だと言えるだろうか?ただ単に論理的であればそれは知なのか?決してそうではない。やはり知の本質を追究するにあたっては、科学と数学を避けては通れないはずだ。

睡眠の科学。

僕はブログでも度々述べているように、超ロングスリーパーだ。なので、もし睡眠時間を短くできればどれだけ活動的な時間が増えるだろうと考えることがよくある。そもそもなぜ人間(動物)は睡眠をしなければならない運命なのか?非常に悩ましい問題である。

とは言え、やはり人間が生きて行く上では睡眠は不可欠だ。ショートスリーパーはいても、ゼロスリーパーはいない。これは何を意味するのか?一つ言えることは、これが人間とコンピューターとの決定的な違いだと言うことだ。コンピューターには睡眠と言う機構はない。(当たり前の話だが、スリープ機能の話とは全く違う。)もしかしたらこれがコンピューターの原理的な限界をもたらしているのかもしれない。現在、コンピューターの性能は飛躍的に向上し、AIも飛躍的に発展している。しかしこのような性能や機能の飛躍的な向上が、例えば意識や感情をもたらすことができるだろうか?この議論に対する意見は研究者の間でも真っ二つに分かれるだろう。僕は、コンピューターに睡眠機構を入れない限り、意識や感情をもたらすことはできないのではないかと考えている。

そもそも、なぜ睡眠が必用なのかと言う議論の答えは、おそらく現在は出ていない。睡眠の仕組みや機能は、測定装置の発展などでだいぶん解明されてきた。しかし、なぜ睡眠が不可欠なのかと言う問いの答えはまだ出ていない。全ての高等動物は、必ず睡眠をしなければならないようにできている。少なくとも、脳を持つ動物には睡眠の機能が組み込まれているのではないだろうか。この「なぜ睡眠をする必要があるのか?」と言う問いに答えることは、生物学の発展に対するブレークスルーになるのではと僕は考えている。

では、どのようにこの睡眠の命題に対してアプローチすべきか?その有力な手段の一つは、コンピューター( 特にニューラルネットワーク)機構との比較である。ニューラルネットワークは人間の脳の仕組みを模して設計されているが、どんなに高度なニューラルネットワークにも睡眠の機能はない。しかし動物の脳には例外なく睡眠機構が備わっている。そこの違いを徹底的に比較することによって、睡眠の本質が明らかになる可能性がある。そして将来のコンピューターには、睡眠の機構が装備されるかもしれない。

睡眠と言うものは一番身近な機構であるが、非常に謎多き仕組みでもある。そして「なぜ睡眠をしなければならないか?」と言う問いに答えることは、生物学とコンピューター科学に本質的な発展をもたらすものと思われる。

AI一辺倒で良いのか?

最近、何かとAIが話題になっている。ニュースを見ていても、去年一年間の平均を取ればAIの話題はベスト3に入るのではないだろうか?小学校でも今年からプログラミング教育が始まる。ますます世の中がAI一辺倒になって来ている。学問においても、これからはコンピューターサイエンス、プログラミング技術が大きく発展していくだろう。しかし何事においても多様化が大切である。なので、ITばかり注目していれば何かを見逃してしまう。さらに言えば、理系学問だけでなく文系学問も大事である。僕のように語学を疎かにしては後で苦しんでしまう。数学の論文を読むのも書くのも英語が標準である。できればフランス語やドイツ語もできることが望ましい。僕にはかなりきついことではあるが。

ところで、世の中の多くの人が勘違いしていることが一つある。それは「AIで何でもできる」と思い込んでいることだ。メディアでも、これからAIが発展すると何でもできてしまうみたいな論調で語られることがある。しかし正しいのは「AIで何かができる」と言うことである。それは「AIにもできないことがある」と言うことの裏返しである。しかしコンピューター科学に疎い人ほどAIで何でもできると思い込んでいる。科学を理解すると言うのは、「科学には何ができないか」と言うことを理解することである。そしてそれはコンピューターやAIにも共通して言えることである。もし科学やAIで何でもできると思っているのならば、それは科学やコンピューターを何も理解していないと言うことである。

小学校でのプログラミング教育も始まり、これからは学校教育でのコンピューターの比重はますます大きくなることであろう。しかし、プログラミングと言うものは、ある意味総合分野と言える。プログラミングには数学も使うし、物理も使うし、論理学も英語も使う。もちろん、研究者レベルの数学をする必要はないかもしれないが、しかしプログラミングを極めるためには研究者レベルの数学も必要である。そこは数学の一分野と言う様相を呈している。コンピューター科学が重要だからと言って、数学や物理と言う学問が廃れるわけではない。それどころかある範囲では数学・物理とコンピューター科学は融合するであろうし、またコンピューターには絶対立ち入ることのできない数学・物理もあり、そこは独自の発展を遂げるであろう。だからこそ、古典的な数学や物理と言う学問はますます重要になる。

今の社会のAI一辺倒化の問題がどこにあるのかと言えば、AIにできないことを示せていないことである。しかしAIにできないと思われることは多々ある。それは数学や物理と言う学問をやっていれば誰もが感じることだ。しかし、今の社会の論調は、「AIで何でもできる」という様子である。しかし今、「AIに何ができないか」と言うことを示すことが非常に重要である。そしてそこに次世代へのブレークスルーがあると僕は考えている。AIに関わることはそれはそれで良いとは思うが、それではブレークスルーを起こせない。量子コンピューターも社会的にはブレークスルーのように思われているが、科学にとってのブレークスルーとは僕には思えない。ましてや学問のブレークスルーではない。仮に量子コンピューターや量子情報がブレークスルーだと考えるのならば、それは1980年代頃の研究ではないだろうか?

今、学問的にブレークスルーを起こせている人はほぼ皆無である。AIも量子コンピューターも大きな流れではあるが、僕にはそれがブレークスルーだとは思えない。しかし今、たった一人でもブレークスルーを起こせる人を生み出すことが必要なのではないだろうか?